---未经博主书面同意,不得转载--- 在万维网一次讨论中,我曾经提到量子理论与经典物理有一个明显的不同,那就是量子理论是基于复数,而经典物理是实数理论。这个观察是基于薛定谔方程中出现了i 。如果我们看一个场的拉格朗日量,量子场与经典场并没有区别,虚数 i 出现在将场量子化的过程中。 在一次讨论中微子可能超光速时,我指出如果中微子质量为虚数,则其超光速并不违背相对论。对于物理学来说,没有圣经,什么条条框框都是可以打破的,是否能准确解释自然现象是唯一的标准。 最近在网上看到了这篇文章,《 Timing quantum tunneling to attosecond precision 》,里面提到几名科学家测量了量子穿透的时间,“ The quantum mechanical equivalent of the electron's velocity is described by a complex number: the sum of a real and imaginary number.”, 也就是说对于隧道效应中的粒子来说速度是复数,时间也是复数。 这篇博文《 Why complex numbers are fundamental in physics 》(为什么复数对于物理是基本的)试图说明为什么量子物理必须有虚数。但文章似乎只说明了可以有虚数,没有说明为什么必须有虚数。 这两天开车时,我思考了一下这个问题,现在把我的思路总结一下。 首先,我们看量子物理与经典物理的根本区别在哪。在经典物理中,位置 x 、动量 k 是描述系统运动的变量。但量子物理不是如此,量子力学隔了一层,系统的状态是用一个空间、时间的函数 f(x) 描述,这在量子力学中称为波函数,而系统的物理量是用作用于这个函数的算符描述。例如,对于动量有一个动量算符 P。如果 P f(x) = k f(x) (k 是数而不是算符) 则我们称 f(x) 态具有动量 k。这就是量子力学的核心数学思想。现在我们来看看,这个动量算符 P 用坐标x 来表示是什么,会不会出现虚数 i。 考虑系统向右移动距离a, 这将 函数 f(x) 平移距离 a, 成为 f (x-a), 那么根据泰勒展开,我们有 f(x-a) = e^{- a \frac{d}{dx}} f(x) 假设a 很小,我们将上面的指数展开到 a 的第一级, f(x-a) = e^{-a \frac{d}{dx}} f(x) \approx (1 - a \frac{d}{dx} ) f(x) = f(x) - a \frac{d}{dx} f(x) 设 f(x) 态具有动量 k ,对上述两边运用动量算符 P, P f(x-a) = k f(x-a) = P f(x) - a P \frac{d}{dx} f(x) = k f(x) - a P \frac{d}{dx} f(x) , 因此, P {\frac{d}{dx} }f(x) = k \frac{d}{dx}f(x) 可见,如果 f(x) 代表 动量为k 的状态,那么 \frac{d}{dx}f(x) 也代表动量为k 的态,因此(no-degeneracy ), 我们得出 \frac{d}{dx}f(x) = c f(x) 其中 c 为常数。 因此, f(x) = A e^{cx} A 为另一常数。但是我们还有一个限制,叫做 unitary 条件 , 那就是 f(x) 在平移到 f(x-a) 之后,其大小不变,也就是要求 |e^{c(x-a) }| =| e^{cx}| 。 这只有两种可能 (1) c=0 , f =1; (2) c 为虚数。我们去掉 f=1 的 trivial 情况 (对应于没有物理)。 由此可见,量子力学中必须出现虚数,动量为k 的态的函数是 e ^{ibx} (b 为实数),从 P e ^{ibx} = k e^{ibx} 可以看出一个解: P = - i \frac{d}{dx} , b = k 由此可见, = xP -P x= xP - xP - (-i \frac{d}{dx} x ) =i 。 以上对易关系是整个量子理论的基础。 值得注意的是,我们上面仅仅是假设对应系统平移不变性有一个量(称之为动量),我们就得出了动量的算符,而且这个算符中间没有出现时间(或者速度)概念。类似的,对应于转动的量子理论,我们有相应的动量,也就是角动量,其算符仅仅是将上面的位置 x 换成 角度。 有人可能会问,为什么一定要虚数,我不能把所有方程列出实数部、虚数部,一个复数方程变两个实数方程不就行了? 问题是,这两个实数方程是不能独立的,如果将复函数分成实数部、虚数部的耦合方程,那么实际上相当于一个二分量向量方程。 我们将会需要这样的 2 x 2 矩阵, \left( \begin {array}{xx} 0 1\\ -1 0\end{array}\right) . 显然, \left( \begin {array}{xx} 0 1\\ -1 0\end{array}\right)^2 = - \left( \begin {array}{xx} 1 0\\ 0 1\end{array}\right) 结果还是回到了一个东西的平方等于 -1.
http://www.youtube.com/watch?v=HfHvSV4mEPA The very thought of you makes my heart sing 每当想起你的时候总压抑不住内心的狂喜 Like an April breeze on the wings of spring 仿若四月的微风乘着暖春的翅膀轻拂脸庞 And you appear in all your splendor 你的每次到来,总闪亮着熠熠光彩 My one and only love 我唯一的爱 The shadows fall and spread their mystic charms 夜阑人静,倩影落下,散发着神秘的妩媚 In the hush of night while you’re in my arms 夜色如水,拥抱着你,爱在怀里温柔燃烧 I feel your lips so warm and tender 你的双唇竟是如此般温润柔软 My one and only love 我唯一的爱 The touch of your hand is like heaven 你的爱抚让我仿若置身天堂 A heaven that I’ve never known 那是一种我不曾体验过的无法言喻的极致 The blush on your cheek whenever I speak 每当我说话时,你脸颊上总会情不自禁地涌现出两抹绯红 Tells me that you are my own 我深知,你是我的 You fill my eager heart with such desire 我那等爱的灵魂,充盈着对你的深深渴望 Every kiss you give sets my soul on fire 你的每一个亲吻,都让它燃起了熊熊爱火 I give myself in sweet surrender 我被你的甜蜜彻底征服了 My one and only love 我唯一的爱 My one and only love 我唯一的爱