科普：电子的自旋

岳东晓

运动的物体有动量 p = mv. 牛顿第二定律说，F =  dp/dt = ma. 还有一个量，与转动有关系，叫做角动量，其定义是

L= r x p

r 是物体的位置向量，p 是它的动量。中间那个x 叫做叉乘。
如果写分量，我们有 L_i = e_ijk *r_j * p_k

运用牛顿第二定律

dL/dt = dr/dt x p + r x dp/dt = r x F

这个 r x F 叫做力矩--角动量的变化率等于力矩。可见在没有外力矩的情况下，物体的角动量L是不变的。举例说，地球围绕着太阳转，因为引力在r的方向，因此地球所受力矩为0，地球绕日的角动量也就是不变的。。。。以上这些，中学物理都学过了。

我在前面一片博文中提到，相对论的能量公式 E^2 = p^2 + m^2 怎么开方的问题，具体怎么回事就不再细说了，总而言之，右边开方成  a*p +b*m的形式。在三维空间下，考虑到动量p有三个分量，开方的结果实际是
a_1 * p_1 + a_2 * p_2 + a_3 * p_3 + b*m = a_i * p _i + b*m

这里我们用到爱因斯坦发明的一个“速记”方式，上面重复出现的i, 意味着对不同i的求和，这样写起来简单多了。

上面的这个东西，我们用一个符号H代表，而且把里面的p，换成动量算符，也就是说
H = a_i * p_i + b*m

由此，我们就可以写出电子的量子方程，那叫着狄拉克方程。现在我们看看，这个H是否与L能否同时确定。为此我们需要计算这个东东：[L, H] = L*H - H*L 。[A, B]称为A与B的对易子，比如 [3, 4] = 3*4 - 4*3 = 12 - 12 =0。但是在量子理论里，位置与动量都成了算符，它们不再对易， [ x_j, p_j ] = i  --- 这里的i是单位虚数，-1的平方根。

有了这个，我们可以计算 [L, H],

[L_i, H] = [e_ijk x_j p_k , a_l* p_l] = e_ijk * a_l * [x_j, p_l] p_k = i* e_ijk * a_j * p_k = i a x p

由此可见，角动量 L 与 H不对易。但角动量应该是守恒的。这说明什么呢？

继续分析，电子必须有一个固有的角动量，才能保持总角动量与H对易。这个固有的角动量被称为电子的自旋。