爱斯基摩人的主要食物是海豹，但据说有一支爱斯基摩人的语言里没有海豹一词；每当爱斯基摩猎人相遇交换海豹信息的时候，需要说一大堆描述性的话才能说明是海豹这个动物。可以想象，这个表达的笨拙大大地约束了爱斯基摩的文学发展。假如他们要歌颂两个海豹猎人的传说，将会非常难以表达、记忆、传承。类似的，数学符号相当于数学语言的单词。古代中国人数学水平确实不低，但后来发展缓慢，为什么呢？我认为，原因之一是中国没有意识到符号表达数学关系的威力，没有发明各种的符号扩充数学语言的词汇量。如果把数学看成一个语言艺术领域，中国数学作品的相对贫乏 就不可避免了 。 行列式（Det: DETERMINANT）中学就学了。一个方形矩阵计算行列式，算大的矩阵要先算小的，符号还得交替变换。知其然不知其所以然，一头雾水。后来读西方写的数学史，才知道中国人早在《九章算术》（公元前2世纪）里就用到了行列式，而西方数学在两千年之后才用到。我们得承认，我们的古代祖先确实聪明，但后人就不行了，到唐朝时《九章算术》很多题目已经没人会做了。而西方则把这些数学步步推进，行列式在数学、物理经常出现。这个 det 符号往往令人望而生畏。它到底是什么？ 先看一个简单的二元一次方程组： a x + b y = e c x + d y = f 简单的消元 ca x + cb y = c e ac x + ad y = a f 得出 (ad - cb ) y = af - ce 类似的： (da - bc ) x = de - bf 对比原来的方程组，这样对角相乘、然后相减的数 ad -bc 出现了，同一行、同一列的数字不会出现。这个数字我们称之为行列式。如果扩展到三元一次方程组，也有类似的数出现，但公式就复杂多了，因为有9个数字进行三个相乘（但同一行、同一列数字不会出现在一个乘积里）。九章算术里面解多元方程就是这么列阵进行。继续计算，可以发现中学数学里学到的递归计算规律。这是一个（线性）代数的理解。 数学与物理中，我们往往发现仅仅是符号的变化就能大大的简化各种推导与表达，甚至使很多看似复杂的结果变得非常显然。麦克斯韦尔的电磁学 论文发表时还没有矢量符号与偏微分符号，他的论文列出20多个分量方程，看得人眼花缭乱，根本不像现在这么优美简洁。狄拉克发明了 bra - ket 之后，量子力学的各种计算都大大简化，几乎成了机械套用。杨振宁当年为了找到规范场的数学 表达费了很长时间摸索，用 differential form 看，就是几分钟的事情 。在 这篇博文里 ，我做了一个CHERN- SIMONS场方程的推导，仅仅是几行；其中一行 $(\partial^a\epsilon_{ba\nu} - \sigma g_{b\nu})(\partial_{\mu} \epsilon^{f\mu\nu}-\sigma g^{\nu f}) B_f=0$，如果不是使用所谓 Einstein 的重复求和等规则，而是把各个分量摊开，这么多上标、下标，估计需要写满好几张纸，会看得我头昏眼花。 从几何上理解行列式，将每一列视为一个向量，行列式就是这些向量构成的多维多面体的体积（有朝向的）。在数学上，与向量结合而产生数字并且满足线性关系的量叫着张量。这个把多个向量吃入，输出体积的张量就是我们经常遇到的Levi-Civita 符号 $\epsilon{...}$ 。这是一个全反对称张量，当下标是 12... 时，数值为1，交换两个下标数字符号相反。 二维的情况: $\epsilon_{12}=-\epsilon_{21} =1, \epsilon_{11}=\epsilon_{22}=0$ 。 三维情况: $\epsilon_{123} = - \epsilon_{132} = - \epsilon_{213}= \epsilon_{231}= - \epsilon_{321} = \epsilon_{312}=1$，其余均为零。 用这个 $\epsilon_{...}$ 符号， n x n的矩阵 $A$ 的行列式 为 $\det A = \epsilon_{i_1 .. i_n} A_{1\ i_1}\cdots A_{n\ i_n}$ 这个表达适用于任意的 n 。以 2 x 2 矩阵为例， $\det A = \epsilon_{12} A_{11} A_{22} + \epsilon_{21} A_{12} A_{21} = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}$ ，对角相乘减去斜对角相乘，这是中学数学都学了的。有兴趣地读者可以试试 3 x 3 矩阵的情况。 中国人发明的行列式在物理中运用极为广泛，但也是一种大大扩展了的运用。古希腊人把行星的运动用圆来解释，不行的话大圆加上小圆。类似的，物理中最基本构件是简谐振子。最基本的物理规律可以说就是没有规律。据 DYSON 回忆，费曼曾对他说一个粒子的运动其实是任意的，选择任何路径，可以跑到月球然后再回来，你把这些路径的几率（复数振幅）加起来就得到了实际结果。DYSON当时回答说：你疯了！当然我们知道，费曼没有疯。恰恰相反，他发现了最深刻的自然规律：路径积分。用费曼的路径积分来分析弹簧振子，把弹簧振子所有可能的路径加起来，包括飞出银河系再回来，有的读者可能会说，弹簧超光速拉伸出银河系早崩 断 -- 疯了。不是这样，费曼怎么是天才呢？总之，我们用费曼方法应该能得到这个经典力学弹簧的结果：在时间为弹簧振子的经典周期的时候，它应该有很大的几率复位。弹簧振子的拉格朗日为$L = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} k \ x^2$。剩下的这个路径积分是一个数学问题，简言之就是将所有可能的路径的作用量作为几率相角，然后将几率相加。这听起来可能令数学家们头皮发麻，但是理论物理却是家常便饭。下面我略加演示，请大家注意这个 Det 的出现。 首先， $L = \frac{1}{2} m (\frac{dx}{dt})^2 - \frac{1}{2} k \ x ^2 = \frac{1}{2} m - \frac{1}{2} k \ x^2\\= - \frac{1}{2}\ x\ \ x +\frac{1}{2} m \frac{d}{dt} (x \frac{dx}{dt})$, 令 $A = - m\ \frac{d^2}{dt^2} - k $, 则从 t=0, x=0, 到 t=T, x=0 的路径积分为 （自然单位 $\hbar=1$）， $G = \int \mathcal {D}x \ e^ {i \int L(x)\ dt} = \int \mathcal{ D} x\ \exp(\frac{i}{2}\int dt \ x \ A\ x ) = \frac{C}{\sqrt{\det A}}$ 因为边界条件，L中的全微分项没有了。上面的积分是个高斯积分，C是一个常数。如果A 是一个矩阵，应该不难理解。把 A 对角化，对角相乘就是该矩阵的行列式。但我们的 A 不是矩阵，而是 一个微分算符。也就是说，上面的结果是 $G \propto \left ^{-\frac{1}{2}}$ 最早出现于九章算术的行列式 det 在现代物理学中大放光彩。
Science 这个词的原意仅仅是系统化的知识。如果看稍微古老一点的书，这个词是经常出现的。搜寻 Gibbon 的Decline and Fall, 可以找到如下用法。 "Science of Roman Law", "Science of tactics", "the science of the church", "science of government ", " sciences of words", "the occult sciences of magic and divination", "the science of algebra", "the science of naval architecture", "the double science of archery and horsemanship", "science of astrology", "the science of doing good", "the science of judicial astrology", "the science of philosophy"。 所以，在古代，science 跟 philosophy 这词差不多，任何知识都可以用。但是随着时代的发展，这两个词的含义都开始变得狭窄了。今天，如果谁说 science of divination 或者 science of astrology，估计会引人侧目。 其实，中文科学一词从字面上理解，也并不具有什么特殊的含义。科是种类的意思。科学一词是 science 具备现代含义后的中文翻译。那么什么时候 science 一词变得地位这么高？谁是最早的具有现代意义的科学家（ scientist) 呢？ 一般认为伽利略是第一个现代科学家，是现代科学之父 （ the father of modern science )。为什么？ 有人可能会说，伽利略做了各种实验，如单摆、自由落体以及斜面等等。但是伽利略并不是最早通过实验来寻找规律的。伽利略最大的贡献是他认为自然规律是数学化的-- 这个数学化是突破性的思维。他写道：【Philosophy is written in this grand book, the universe ... It is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometric figures】，自然规律的语言是数学。而真正把伽利略的洞察力付诸实现的是牛顿，一个 F = ma，一本《自然哲学之数学原理》，令之前全部 Philosophy 黯然失色。一个人如果论力学而不会用 F = ma 计算，那就是装 -- 算不出结果、没有准确答案，谁都可以胡诌半天。而数学化的知识自动具有可证伪性 -- 不信？ 我都可以给你算出个数字，精确到小数点后多少位，你试试看能不能对上，真可谓实打实、不玩虚的。 现代科学的发展，主要是基于这个数学化的认识。理论物理学中的几乎全部发展都是基于自然规律必然是数学化的原理。须知，大部分物理理论并非从实验总结出规律，而是寻找与实验结果吻合的数学化理论。爱因斯坦的广义相对论方程就是一个很明显的例子。 爱因斯坦提出引力与空时弯曲相关的观点后，很多数学家也参与了相关方程的寻找。 爱因斯坦为了寻找相关的方程花了八年的时间，标准之一是方程必须是协变的。这个协变完全是一个数学概念。与爱因斯坦竞争的数学家对这个协变的要求还愿意放弃，最终是坚持协变性要求的爱因斯坦找到了相关方程。类似的，在量子力学中涉及非常抽象的向量空间的概念，量子力学里很多看似超出常理的东西都是这些抽象数学概念的逻辑结果。理论物理学家们，无论是薛定谔还是爱因斯坦，似乎都从未怀疑这些抽象数学与自然的对应。他们不是说结果这么离谱，看来这些数学概念不能用了，而是坚信数学是对的。杨振宁的规范场论更可以说是横空出世，从对称性推导出相互作用的方程。相关理论是整个现代物理的基础。在很多领域，理论已经大大超越了实验。引力波就是一个例子。用爱因斯坦的方程推导出应该有引力波，但要观察到引力波，得有巨大黑洞合并这样的天文现象。 补充：科学网部分讨论 当前推荐数： 22 推荐人： 王立新 康建 李颖业 徐令予 张坤 赵克勤 王兴民 陈宁 沈律 史晓雷 黄永义 石磊 徐传胜 徐翠 刘学武 xiyouxiyou xlianggg decipherer yzqts wqhwqh333 taoshl qzw 推荐到博客首页 发表评论 评论 ( 25 个评论) 删除 回复 刘学武 2016-6-13 12:27 科学是从实际中抽象出数学，而不是从数学中寻找实际。 ================================== 毫无意义的废话。 删除 回复 刘学武 2016-6-13 12:25 生物、医学、地质类难以数学化，说明人类的智慧不够，难以将复杂的过程抽象成数学形式，这也是现实的复杂性与人类的无奈，是人类能力问题，不是数学本身的问题。 学科发展水平低，不是复杂问题，任何复杂问题都可以想办法简单化。现代经济学就大量使用数学，严格意义上研究人的行为的经济学，其复杂程度更甚，但是经济学自从有了数学，早已经大放异彩，成为成熟的学科。 删除 回复 xiyouxiyou 2016-6-13 12:23 guanluzhu2016-6-13 10:51 科学是从实际中抽象出数学，而不是从数学中寻找实际。 =================================== 赞成！ 删除 回复 刘学武 2016-6-13 12:21 数学公式是逻辑严密的，所有直接用数学模型化其中的过程不需要论证就能知道是正确的，大大节省理论的论证时间。数学应该是建立公理化体系的最有效工具。判断一个科学是否具有高水平可以以使用数学化方法的多少来确定。 删除 回复 邓云贵 2016-6-13 12:10 爱因斯坦引力学方程在《普林斯顿数学指南》上看到，也是惊于其协调美，中国美学家李泽厚、朱光潜、蔡仪、高尔太、周来祥等大师讨论美的本质，也是有客观说、主观说、主客观唯物主义说（朱光潜）、实践理性生活说和美是过程说，马克思劳动说（蜜蜂劳动美），王阳明主观唯心美学，老子道虚美学，孔子直美学，孟子人美学，青荷人美是存在的之美人美学，故以为宇宙之规律在于人力之一，故有科学家数学家之艺也，即宇宙规律是真善美艺也。数学表达是人生美学邓云贵全历人世孔子之屈也。 删除 回复 qzw 2016-6-13 11:55 一般认为伽利略是第一个现代科学家，是现代科学之父 （the father of modern science)。为什么？ 有人可能会说，伽利略做了各种实验，如单摆、自由落体以及斜面等等。但是伽利略并不是最早通过实验来寻找规律的。伽利略最大的贡献是他认为自然规律是数学化的 -- 这个数学化是突破性的思维。他写道：【Philosophy is written in this grand book, the universe ... It is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometric figures】， ---------------------------------------------- 为什么是“ ... , and its characters are triangles, circles, and other geometric figures”？ 删除 回复 黄荣彬 2016-6-13 11:41 没有数学化的关于自然的学问是为自然哲学，自然哲学是哲学，不是科学。科学诞生，自然哲学终结。 删除 回复 陈伟 2016-6-13 11:21 中国最早使用阿拉伯数字始于1875年《笔算数学》 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=2672021do=blogid=941882 元500年前后（公元420年到公元587年是中国历史上的黑暗时代,也即南北朝时代。公元500年北魏孝文帝刚刚死去一年,而南朝处于齐朝与梁朝交替之时），印度天文学家发明了十进位数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。 .. 140年前——1875年，中国人开始学习和使用阿拉伯数字。 1930年代，李约瑟开始研究中国科技史时提出了这样一个问题：其主题是：“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献，但为什么科学和工业革命没有在近代的中国发生？”。1976年，美国经济学家肯尼思.博尔丁称之为李约瑟难题。 对于这个困扰众多国人脑洞许久的所谓“李约瑟难题”，还有回答的必要吗？ 删除 回复 guanluzhu 2016-6-13 10:51 科学是从实际中抽象出数学，而不是从数学中寻找实际。 删除 回复 曹长青 2016-6-13 10:13 挑个刺。牛顿没有见过F = ma 公式。它是伟大的欧拉给出的。 博主回复(2016-6-13 11:15) ： 牛顿的是 f = dp/dt ，不过 f=ma 更通俗 删除 回复 曹长青 2016-6-13 10:11 挑个刺。牛顿没有见过F = ma 公式。它是伟大的欧拉给出的。 删除 回复 陈伟 2016-6-13 10:11 关于【数学】本身，存在两种世界观或时空观的【数学】，一种是自西方笛卡尔以来的【一维数轴.一维时间轴.0点唯一.绝对数学.西方数学】；另外一种就是作者从自然界运动天然实验室发现和建立的【11/30二维时间坐标系.11/30二维数系.0点循环生成.洛书相对数学.东方数学】 摘要：在充分认识地球历史及地壳运动呈现的渐变与突变交替发生的演变规律、以中国古代太极理论及自然宇宙观为指导、吸收近现代西方科学特别是非线性科学理论成果基础上，在对全球地震时间分布规律的研究过程中，发现和建立了“11/30全球地震周期分布律”及其背后所隐藏的本质物理规律“11/30二维时间坐标系”；并揭示它们赖以确立的数学基础即“11/30二维交互数系暨11/30太极数系”；同时也揭开了中华文明之源头“洛书”的自然数学原理。在所建数理坐标系中，“0”具有周期循环生成的特征规律，突破了“一维时间轴”和“一维实数轴”模型中“0”点唯一的公理化假设。 删除 回复 李志强 2016-6-13 09:25 生物、医学、地质类难以数学化，说明人类的智慧不够，难以将复杂的过程抽象成数学形式，这也是现实的复杂性与人类的无奈，是人类能力问题，不是数学本身的问题。 删除 回复 taoshl 2016-6-13 08:26 好文！ 删除 回复 wqhwqh333 2016-6-13 06:03 好文，赞一个 删除 回复 黄永义 2016-6-13 00:11 赞！ 删除 回复 胡大伟 2016-6-12 22:50 数学现在很难解释生物。生物的很多规律无法从数学中推导出来。 博主回复(2016-6-13 02:35) ： 这只能说明生物学的发展阶段。坛坛罐罐、倒来倒去的实验，随着技术的发展，将逐渐变为量子化学的计算问题。 删除 回复 beger 2016-6-12 20:25 科学的数学化，本质上是将科学的规律用量化的数学语言来阐释。量化的东西好把握。但是，科学的根本还是定性思考，这是基础。数学无论如何是工具，是科学的语言，不能将数学在科学中的作用不适当的加以夸大。没有数学量化的科学就不是科学吗？进化论不是科学吗？分子生物学也很少用数学语言来描绘DNA 的运动规律。数学一般与低级的自然运动规律有恨强的亲和性，但是在高级的物质运动形式上，数学的运用一般都很牵强，有时也很丑陋，没有数学美的感觉，倒像是在美人脸上涂了一笔不适当油彩，多此一举美变丑了。 数学很重要，但是数学只是在他适当的位置上才是美轮美奂的。 博主回复(2016-6-13 02:56) ： 就像如果不知道 x86_64 二进制指令集，然后给一个 WORD 程序可执行文件的二进制码，谁能知道这是 WORD 程序呢？知道指令集，至少可以翻成汇编码。 博主回复(2016-6-13 02:40) ： 现在对DNA的机制理解还停留在很粗浅的阶段，纯粹是经验性的。编码与功能之间的关系是一个映射。DNA的最终解码应该是数学化的，而且应该是数字化的(digital)。 删除 回复 xlianggg 2016-6-12 18:18 好文 删除 回复 黄荣彬 2016-6-12 18:13 非数学化的知识体系不能称为科学。所以不存在科学的数学化命题。 博主回复(2016-6-13 02:57) ： 删除 回复 郑小康 2016-6-12 16:41 数学知识具有可证伪性？ 删除 回复 王立新 2016-6-12 16:24 社会系统（人与人交往形成的系统）的研究也需要通过数学化，才能成为真正的科学。 好文！ 删除 回复 赵克勤 2016-6-12 16:03 文短， 意深， 理晓， very good 删除 回复 xiyouxiyou 2016-6-12 15:49 个人觉得物理之所以是物理而不是数学，还是在于它的实验部分，或者说它的可观察性和可证实性上。否则彼此独立但又逻辑自洽的公理体系就没法进行选择了。 博主回复(2016-6-13 02:49) ： 物理当然不是数学，物理也不是实验。实验是人的活动，理论（包括数学）是人思维的产物。有没有人，宇宙都遵循其规律。怎样的理论才能与客观规律的正确对应是我们考虑的问题。 删除 回复 xiyouxiyou 2016-6-12 15:17 物理规律数学表述可以看做是理论物理的公理吗？
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