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分享 GPS与相对论之指点迷津: 热度 3 岳东晓 2016-4-8 05:14; 这两天科学网就 GPS 是否依赖于相对论（狭义与广义）才能运转进行了激烈的辩论。参见这篇《剪不断，理还乱。。。》内中提到方舟子这个“非理工男”的错误，这简直是对喜欢用文科傻妞一词的舟子莫大的侮辱。但要知道，涉及相对论的时候，很多隐含的假设就不能做了，尤其是小学数学里距离等于速度乘以时间的公式要谨慎。所以，我来给一个清楚一点的解释。我现在手里拿着一个 GPS导航器（简称导航器），打开之后，它给出了我现在在地球上的位置（经纬度与高度），这是它根据接收到的GPS卫星信号算出来的。那么这个卫星信号里面有什么信息呢？一是卫星本身的轨道参数，二是发出这个信号时卫星上时钟的时间。卫星上这个时钟是所谓原子钟，是非常精确的。从卫星轨道与卫星发出信号时间，导航器的程序可以算出发射这个信号时的卫星的位置。导航器本身也有一个时钟，因此还有一个数据：导航器根据自己的时钟收到卫星信号的时间。导航器的时钟当然不是原子钟，而且也没有跟卫星上的时钟对准。比如说，卫星上的时钟可能指向上午9点，但导航器上的时钟可能指向10点，对准差达到了一个小时。显然，导航器时钟与卫星时钟的对准差是一个随机的未知数。而导航器的位置坐标是另外三个未知数。初中数学告诉我们，一般来说，要有四个方程才能解出四个未知数。所以，我们需要四颗卫星的GPS数据才能算出自己的位置。我在《电影Interstellar中的引力延时》一文中提到引力场不同地方时间流逝速度不同，并进行了计算。类似的计算得出在GPS卫星高度（约2万公里），用于引力延时，卫星上时间流逝比地面快（比例） \frac{GM_e}{c^2 R_e^2} \frac{(R_s -R_e) R_e}{R_s} = \frac{g}{c^2} \frac{(R_s -R_e) R_e}{R_s} \approx 5.3 \times 10^{-10} 。另外，根据狭义相对论，从静止观察者角度，运动时钟要慢些。卫星速度约每秒 4000 米（ \sqrt{9.8 * 10^3 *6300^2/26300} ) ，则运动学效应导致的卫星上时钟变慢比例为 1-\sqrt{1-v^2/c^2} \approx 8.9 \times 10^{-11} 。因此，每天24小时累计卫星上时钟相对于地面来说，应该快 (5.3 \times 10^{-10} - 8.9\times 10^{-11} ) \times 24 \times 3600 ，也就是约为 38微妙。这个38微妙的差别将被包括在天-地时钟的对准误差中。初看起来这似乎没有问题。但是卫星运行一天之后，导航器程序员根据接收到的卫星轨道参数以及卫星时间而计算卫星位置时误差会达到：4000* 38*10^-6 = 0.15米 ( 卫星速度乘以时间误差) 。这个误差是不断积累的。运行100天后，卫星上的原子钟时间会快 38* 100 微妙，或者约4毫秒。那么卫星位置的计算误差将达到 15米。三年之后，卫星位置计算误差将达到150米，而相应的卫星定位误差将达到 40米左右（注一）。因此，假如我们处于一个非相对论文明，人们会发现由于某种神秘原因，这个GPS系统开始还好用，但误差越来越大。 GPS卫星的设计者及运行者当然考虑到了相对论效应，因而把卫星上的原子钟报出的时间进行了调整以消去相对论效应，而且卫星可以不断进行轨道修正。那么导航器程序员计算卫星位置的时候是否还要考虑相对论呢。答案似乎是否定的。由于GPS信号本身已经考虑到了最主要的相对论效应，导航器程序员也许根本都不要知道什么相对论。但是，如果导航器开发商承认自己没考虑相对论，那将是一个严重的市场错误 -- 广大客户会觉得这个产品也太原始了。现在回到根据四颗卫星的数据计算四个未知数的方程的问题。小学数学给出的方程是：卫星到导航器的距离等于光速乘以信号传播的时间。卫星的位置可以根据卫星的轨道及卫星信号发出的时间进行计算，卫星到导航器的距离根据勾股定理计算，时间则是导航器接受信号的时间减去卫星信号发出时间再根据对准误差进行修正。四个未知数是：导航器所在的坐标（经度、纬度、高度）与天地时钟对准差。四颗卫星，四个方程。但如果要考虑相对论，这个距离计算又不是那么简单的了。不过，这个误差相对其他误差较小。另外，如果假定高度（如海拔为零），那么三个卫星也能算出位置。还有一个问题，卫星发出的无线电信号经过大气层时其传播会受到影响，这也就影响了信号传播时间，这个影响是未知的，因此定位精度也就打了折扣。美军使用的GPS跟民用的信号的内容并没有不同，但美军信号还有一个不同频率的频道。根据同一卫星两个频道信号的差别，美军可以在计算中消去大气层的部分影响而得出更为精确的定位。注一：方舟子科普到：“...如果我们考虑到GPS系统要求纳秒级的时间精度，这个误差就非常可观了。38微秒等于38000纳秒，如果不加以校正的话，GPS系统每天将累积大约10千米的定位误差，这会大大影响人们的正常使用..”这显然是不求甚解。; 个人分类: 科普|8626 次阅读|11 个评论

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