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分享数学美：转身与不变 (2): 热度 3 岳东晓 2015-5-7 00:41; 180度的华丽转身相当于 -1，而 90度的侧影相当于负一的平方根。可见，虚数并不虚幻，而是充满了想象的空间。这是我们数学计算的结果，无可争辩。现在我们要问，转身就会改变吗？有没有什么在转过90度却仍然保持原来的方向？在前面，我们说道，一个点的坐标如果是（x,y)，那么绕原点转过90度之后它的坐标成为（-y, x )。例如，如果一个点坐标是（3, 4），方位在东北，转过90度之后，坐标就成了（-4，3)，方位在西北。读者可能会问，怎么可能转过90度还保持原来的方向呢？本来看到背影，转过90度就看到侧影了。数学的想象是超越性的，对这样似乎答案明显否定的问题，数学家会迎头而上。一个点（x,y) 要保持原来的方向，只能相差一个常数因子成为 (c x, c y)。把上面90度转身的（x, y) --- (-y, x) 代入，我们有下面的方程组 -y = c x x = c y 从第一个方程得出 x = - y/c ，代入第二个方程，得到 -y/c = c y。我们发现 c^2 = -1 , 因此， c= \pm \sqrt{-1} = \pm i . 再把c 代入第一个方程，我们发现 x= \pm i y . 也就是说，（1， i) 与（1， -i）这样的点在转动90度后，方向不会改变。既然转90度方向不改变，那么不管怎么转，方向也不会改变，这似乎是很显然的结论。（未完待续）; 个人分类: 科普|4907 次阅读|0 个评论

分享数学美：转身的想象 (1): 热度 8 岳东晓 2015-5-5 14:33; 人类最伟大的基本发明可能不是数学也不是音乐，而是用数学研究音乐。从古人发现音阶与弦长度的关系，到现代的试图解释一切的弦理论，都是这种数学化的超越性结果。中学数学说，i是负一的平方根， \it{i} = \sqrt{-1} ， i 的平方等于 -1。数学家们说这个 i 不是真的（real），而是想象（imaginary)。戴着数学化的眼镜看到妙曼背影轻盈的转身， i 这个想象的数字就会出现在空间的另一个维度。让我们看看数学想象的美。 180度的转身，如果用数字来代表，那就是 -1 。而180是两个90度，那么90度的转身，一个侧影，岂不就是-1的平方根，也就是 i？（注一）假设一个点的坐标是 (x, y)，那么将这一点绕原点逆时针转90度后，坐标成为（-y, x)。这个很容易理解，逆时针转动这个点90度相当于把坐标轴顺时针转90度，原来的x 变成了新的y, 但原来的y 却是负的 x 。如果再转90度呢？如法炮制，把纵坐标改变符号成为新的横坐标，把横坐标变成纵坐标，我们得到 (-y, x) ---（-x, -y ) 。这当然正是我们预期的结果。如果用矩阵来表示，那么90度的转动矩阵是 r = \left( \begin{array}{cc} 0 -1 \\ 1 0 \\ \end{array} \right) 而 r^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 -1 \\ 1 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 -1 \\ 1 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -1 0 \\ 0 -1 \\ \end{array} \right) = - \left( \begin{array}{cc} 1 0 \\ 0 1 \\ \end{array} \right) 可见，这个90度的转身确实相当于 i。所谓虚数并不虚幻，而是一个引人遐想的侧影。注一：读者可能会问，两个90度，不应该加法吗？为什么是乘法? 这个问题留给读者思考（未完待续）; 个人分类: 科普|8924 次阅读|3 个评论

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