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分享水中球的负引力与质量重整: 岳东晓 2016-10-26 06:17; 前几天我看到一个新闻提到三星公司的量子点显示器（Quantum Dot Display），准备写篇 Quantum Dot 的介绍，其中有个概念叫着 “电子空穴”(electron hole) ，想举个经典力学的例子作为比较，于是联想到水中的气泡的运动。结果发现这个水中空穴的问题还挺有意思。因此，我专门写篇博文。考虑这个问题，一个体积为V的质量为m的空心球从深水处释放开始上浮，F=ma, 请计算球的初始加速度。水的密度为 d，重力加速度为 g。很多人可能回答：根据阿基米德两千多年前的发现，空心球受到的浮力是排开水的重量，Fb = d V g。取向上为正方向，空球上的力为 F = Fb - mg = - (m- dV) g 。加速度 a = (d V g - mg)m = (dV/m -1) g 。这看起来没错。我们总结说，空心球的加速度等于空心球排开水的质量除以空心球的质量减去1，再乘以重力加速度。对比一般物体的重力公式，我们发现空心球的有效引力质量为 m - dV 。对于轻球，这个值是负的。负引力质量出现了。但这个结果显然有问题。空球可以做得很轻，排开水的质量与球质量的比可以很大。我们可以想象一个极端情况，球相当大，主要质量来自里面的空气，球壳可以忽略。水的密度（1000 kg/m^3）是空气密度(1.225 kg/m^3) 的816 倍。上面的结果竟然说空心球的加速度达到 815 g 。不可能。但是问题在哪？有人可能说，水的阻力呢？水的阻力与球速度有关，速度为零，阻力为零，而球的初始速度为0 。查看我们上面的全部论证似乎无懈可击。我们只能质疑阿基米德或者其适用条件了。浮力是全部压力的总和，球下部压强大，这个差别求和之后就得到了浮力公式。但是阿基米德原理考虑的是水处于静止平衡的状态的情况，我们的情况里，球向上加速运动必然会推动水的加速运动，水不再处于静平衡，球附近水的压强跟静止情况不同，阿基米德不能简单套用了。怎么办？一个办法是运用流体力学，要解微分方程。难道没有更简单的方法得出一个基本正确的结果？我这里给出一个思路，这个思路在粒子物理以及凝聚态物理中都会用到。在粒子物理中，当年狄拉克提出一个电子海的概念，他想象真空填满了无限深的负能量的电子，叫着电子海。有人曾问狄拉克，如果真空有无穷多的电子，我们怎么没有被电击倒。对此，狄拉克只能说，处于这个电子海里就像鱼在水中不觉得水的存在一样。当然，现在看来，狄拉克这个电子海的概念在今天看来已经过时了，但其启发性是不可忽略的。当这个负能量的电子海里的一个电子获得能量成为正能量的电子，那么电子海就会出现一个空穴。计算发现这个空穴的质量跟电子一样，电荷是正的，称为正电子。后来，正电子被发现了。今天，正电子甚至被用于医疗成像，PET 扫描的P就是 positron --正电子。类似的空穴等于粒子的概念在凝聚态物理的能带理论中也有。我们不妨按照类似的思路计算一下水下空心球的有效惯性质量。为此，我们考虑这个水+球系统，计算当球的速度是 v 时，系统的机械动能 E_k。球本身的动能很简单，我们需要思考的是水的动能。如下图，设球本来在位置A，以速度 v 运动到位置 B。最简单的物理图像是，这相当于原来在B处的水在同一时间内运动到了 A。如果是这样，那么水的动能 E_kw 将是 E_{kw} = \frac{1}{2} \rho_w V v^2 但这并不是实现这个结果动能最少的情况。B处的水可以流向中间的C处，而 C 处的水同时流向 A。这样，水的流速减半。水的总动能是 E_{kw} = 2 \times \frac{1}{2} \rho_w V (v/2)^2 = \frac{1}{2} v^2 系统的总动能 E_k 是球的动能加上水的动能， E_k = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} v^2 = \frac{1}{2} \left \hspace{1mm} v^2 对比动能公式，我们发现在这个水流假设下，水中球的有效机械质量为: m_i = m+ \frac{1}{2} \rho_w V 也就是说，水中球的有效惯性质量等于球排开的水的质量的一半加上球本身的质量。当然，这个有效质量与水流的模式有关，但可以看出，这个等效质量也取决于球所在介质的属性。这可以叫质量重整化。设空心球纵坐标为y, 如果我们写下水+空心球整个系统的重力势能 U， U= U_0 - V\rho_w g y + mg y = U_0 + (m - V\rho_w)g y 可见，水中球的引力质量为 m_g = m - \rho_w V 也就是说，水中球的等效引力质量等于球的引力质量减去所排开水的引力质量。这个等效引力质量可以是负的。这与半导体中空穴的电荷与电子电荷相反类似。水中球的加速度是： a = \frac{m_g } {m_i} g = \frac{m-\rho_w V}{m+ \frac{1}{2}\rho_w V} g 。这么一个简单的问题，居然可以引发各种深刻的物理概念。大家可以进一步思考，补充。; 个人分类: 科普|7650 次阅读|0 个评论

分享习惯就好了: 热度 2 岳东晓 2016-10-10 14:55; 一个28寸的显示器用了好多年，屏幕不错，但是设计有问题，电容器损耗大，之前曾经打开把电容换了，又用了相当长时间，最近显示器又开始不工作了，打开后好久才能有图像。怎么办？再修一次？现在显示器技术发展很大，这个显示器分辨率显得不够。尤其是如果同时编辑多个文件不方便，得用两个显示器。虽然很舍不得扔掉这个显示器，但还是决定换掉了。买了一个32寸的显示器。把原来两个显示器都给替换下来了。最开始的时候，觉得很大。但用了一些天之后，却觉得好像还可以更大。; 3679 次阅读|6 个评论

分享汽车抬头显示器（图）: 热度 5 岳东晓 2014-11-14 09:13; 这次在欧洲游玩租的车有抬头显示器（HUD），将基本的信息影像显示在驾驶的前方，这样可以不必转头即可看到关键的信息，包括当前限速、车速，下一个转弯处距离等等。尤其是这个当前限速的信息太有用了。德国的公路限速是不断变化的，这个能够及时显示信息。; 个人分类: 旅游|5955 次阅读|4 个评论

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