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日志

《流浪地球》的科普

热度 2已有 958 次阅读2019-2-10 17:13 |个人分类:科普|系统分类:教育

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我算得上是个科幻迷,尤其喜欢星际旅行之类的科幻。前天看完《流浪地球》之后,觉得应该做个科普。《流浪》电影的主要情节是,在不久的未来,科学家发现太阳已经出现异常,很快会膨胀吞没地球。为此,人类制造安装了大量用核聚变为动力的喷射发动机,计划把地球推出太阳系。其中一个步骤是在木星处进行一次反弹加速,以逃离太阳系。但由于某些误差,地球向木星借力反弹时离木星太近,只有7万多公里,如果距离再近地球会在木星的引潮力下土崩瓦解。地球人启动全部发动机反喷也无法改变这一结局。地球的大气也正被木星吸去。此时,电影中一个一看就不喜欢读书的少年突发奇想:木星上主要是氢气,地球大气有氧气,如果点个火,木星氢气与地球氧气反应生成水而爆炸,就可以把地球推开了不是(注一)。这少年的爸爸是一个飞船上的宇航员,听了儿子的高招,毅然违抗机器指令带着30万吨燃料的飞船朝木星撞去。电影里结果当然是成功了。老爹的壮烈牺牲加上儿子的“智慧”,拯救了全人类及其家园。

看完电影之后在电视里看到这部电影编导的采访,说希望这个电影能激发青少年学习科学的热情。这个想法倒是不错。我也就奉献一下所学的中学物理,科普一下。

第一个问题,借木星反弹加速是怎么回事?其实这就像是朝着开过来的汽车扔一个皮球反弹。假设皮球速度是每秒5米,汽车速度为每秒10米,那么反弹回来的皮速度是多少呢? 这个问题从汽车角度看很容易算出来。从汽车上看,汽车自己没动,皮球以15米/秒的速度朝汽车飞来,皮球撞在汽车上然后弹性反弹回去,相对汽车离开的速度也是15米/秒。但从地面看来,皮球的速度应该皮球相对于汽车的速度加上汽车的速度,因此是 15+10=25 ( 米/秒)。类似的,如果一个物体朝木星迎面飞去,然后绕半圈返回,那么它的速度会增加,这个增加量是木星速度的两倍。

木星的速度是多少呢?我们知道阳光从太阳到地球需要 8分20秒(500秒),从这个我们可以算出地日距离。地球公转一圈为一年,地球速度约为(圆周长/除以一年):500 x 3 x 10^5 * 2 * 3.14/ (365*24*3600) = 29.87 (km/s)。

木星到太阳的距离约为地日距离的5.2 倍。根据牛顿万有引力的平方反比率,以及圆周运动的加速度关系,我们有 $ \frac{v^2}{r} = GM_{s} \frac{1}{r^2}$,因此行星的速度与距离的平方根成反比。因此,木星的速度为:$29.87/\sqrt{5.2} \approx 13.1$ (km/s)。通过木星反弹,我们可以获得 26.2 公里每秒的速度增加。这个速度在木星轨道处足以挣脱太阳引力,出走太阳系了。

《流浪》电影中提到洛熙极限(ROCHE limit),说如果地球离木星距离小于这个数值,就会被木星引潮力撕裂。这是怎么回事呢?所谓引潮力就是不同距离上引力的差。当地球靠近木星时,面朝木星处受到木星引力大,而地球中心处受到木星引力小,这个差就是引潮力。当这个引潮力大于地心引力时,地面上的东西靠地心引力就无法呆在地球上了,地球也就开始碎裂。根据这个条件,我们可以计算一下这个洛熙极限是多少。


引潮力等于地心引力方程是:


 $GM_j \left[ -\frac{1}{d^2} + \frac{1}{(d-r)^2}\right] = GM_e \frac{1}{r^2}$


左边是木星引潮力,右边是地表的地心重力; M_j 是木星质量,M_e 是地球质量,r 为 地球半径,d 即为 洛熙极限。顺便在计算机上算下。


$M_j/M_e \left[ -\frac{1}{d^2} + \frac{1}{(d-r)^2}\right] =  \frac{1}{r^2}\\ \frac{1}{d^2 - 2dr +r^2} - \frac{1}{d^2} = \frac{M_e}{M_j}\frac{1}{r^2}\\ \frac{1}{d^2 (1-2r/d + r^2/d^2)} - \frac{1}{d^2} =  \frac{M_e}{M_j}\frac{1}{r^2}\\ \frac{1}{d^2}( 1+ 2r/d) -\frac{1}{d^2} =  \frac{M_e}{M_j}\frac{1}{r^2}\\ 2r/d^3 = \frac{M_e}{M_j}\frac{1}{r^2}\\ d = r  ( 2 M_j/Me)^{1/3} $

上面的推导中假定了 d 远大于 r。可见,洛熙极限是 地球半径乘以 木星地球质量比二倍的立方根。木星质量为地球的318倍,因此,木星 Roche 极限距离约为 地球半径的 8.6 倍 (2 x 318 的立方根),地球半径约 6400 公里,相应的 洛熙极限约 5万5千公里。如果地球距离木星小于这个数值,地球自身引力 无法把地球抱成一团,就会散架成为一块块的石头了。

《流浪》中出现地球大气被木星吸去的现象,这是可能的。虽然大气跟着地球一起在木星引力下自由落体运动,但是木星引力使面对木星一面的地面物体更容易逃逸出地球,空气中的速度较大的分子就有可能飞出地球而飞向木星。下面我描述一下接下来的基本物理过程。

当地球离木星足够近时,地球大气顶层速度较高的空气分子可能逃逸出地球,向木星坠落。地球空气分子的速度大概多大呢?空气分子的平均动能为 3/2 KT,由此可以在根据动能公式计算速度。但不经过计算,我们也可以知道个大概,空气分子平均速度比声音的速度稍高一些,后者是300米每秒左右,所以空气分子的平均速度也就500米每秒左右。其中那些速度较高的分子最先逃逸出地球,地球上剩下的空气分子就是速度低的,空气也就会越来越冷。那些逃逸出去的分子在木星的引力下加速下落,到达木星表面时速度会达到每秒钟数十公里。这么快的空气分子射入木星大气,其动能转化为热能,高速氧气分子有足够的能量引发与木星大气里的氢分子的化学反应,将后者氧化而生成水。这跟人造卫星在地球大气层坠落会烧毁是一个道理。因此,射入木星的地球氧气分子立刻就会消耗掉,而不会积累起来。当然,即使地球的氧气分子进入木星大气,而且没有与氢气反应,也不会呆在一块,而是会迅速扩散开来。地球那点空气跟木星大气比微不足道、少得可怜,立刻如泥牛入海无影无踪。所以,实际上根本不存在地球氧气在木星积累、木星氢气大爆炸的条件。

但即使氧气跑到木星上神奇地聚集在一起跟木星氢气按照H2O 比例混合,点燃后木星氢气大爆炸,这个爆炸的冲击波也不可能通过7万公里的真空到达地球。冲击波是运动物质携带着动量冲过去。木星上的爆炸要传到7万公里万的空间外(忽略微不足道的光压)必须有物质被加速到足够的速度,使它能冲出木星引力的束缚,冲到电影里7万公里外的地球时还有余速。氢与氧反应是化学反应,能量很低,根本无法把水分子或者其他分子加速到每秒几十公里的速度。这个不用计算根据经验也都知道了。平时我们点爆氢气球,在几米距离之外就没有什么感觉了。另外,火箭要用几百吨燃料才能把几吨的载荷推到地球轨道上也说明了这一点。如果计算,氢氧反应释放的能量是3个电子伏,即使把这个能量全部给一个水分子,速度也不过千米每秒的量级。何况,化学反应释放的能量在非封闭而且环境透明的情况下,大部分以光的形式辐射出去了。

为什么光压可以忽略呢?因为光的能量等于其动量乘以光速。或者反过来说,光的动量等于其能量除以光速。化学反应产生的那点能量用这个光速一除,所携带的动量就非常小了。(注二)


注一:


《流浪地球》一段与美国1968年的大片《2001 A  Space Odyssey》关键情节几乎雷同。《2001》电影中也是在木星附近,两名宇航员觉得计算机叛变,决定关闭机器,但计算机察觉,在他们出舱时杀死其中一人,另一人则费力爬到计算机核心,拔出插卡,计算机被关闭后,发现它原来在执行一起秘密使命。在1984年的续集 《2010 第一次接触》中,木星发生核聚变反应成为第二个太阳,强大的爆炸冲击着飞船。《流浪》几乎照抄、挪用了这些情节。


注二:


我们把地球氧气跟氢气混合就在地球上同时进行定向爆炸怎样?我们可以满打满算,假设地球上的全部氧气同时跟木星上的氢气混合引爆,看能产生什么效果。为此,我们先计算地球上的氧气量。

地球地面大气压 P 约为每平方厘米一公斤,也就是一平方厘米的面积上压着一公斤空气。地球空气重量为 这个压力乘以地球表面积:

$m_a = 4\pi r^2 P $


代入地球半径 r = 6400 km. 我们得出空气质量约为:4 * 3.14 * (6400*10^5)^2 * 1 = 5.15 x 10^18 (kg) 。设20%质量为氧气。这看起来是一个巨大的数字。


但是让我们计算一下地球的质量,根据牛顿万有引力定律,地表重力加速度为:


g = GM/r^2 


因此,M = g * r^2 /G = 9.8* (6400*10^3)^2 /6.67*10^-11 = 6 * 10^(12+11) = 6 * 10^24 (kg) 。可见,地球空气质量只有地球质量的百万分之一。其中氧气只有地球质量的500万分之一。要产生H2O, 对应的氢气质量只有地球质量的 16/2 * 500 = 4000 万分之一。需要进一步计算吗?我们打个准确的比方。一个含一克氢的氢气球爆炸,能撼动 4000万克,也就是40吨的铁球吗?如果木星、地球没法实验,这个一克氢气对40吨铁球的实验是可以做的。更何况,如果是挨着地球进行爆炸,地球也许会震动若干微米,但随后这些爆炸物掉下来,一切又复位了。就像我往上一跳,地球开始会往下退,等我落地,互相吸引下又回到了之前的状态。


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