这个能量(包括动能、势能)概念在牛顿后100多年才出现,但能量守恒概念似乎被奉为圣经。
最近两天在科学网看到一个问题:一个理想的弹簧振子固定于墙上,来回振动,从室内人看,其机械能守恒;从一匀速运动火车上看,弹簧振子能量是否守恒。
这是一道中学物理题。据说是北大物理系赵凯华(我上学时的系主任)写的某本中学物理书上的。答案是“能量不守恒”。原因是,从火车上看,弹簧固定点在移动,而且固定点有作用力,因此外力对弹簧振子系统做功不为零。
这个答案引发了广泛的反对意见,因为它似乎打破了某些人对能量守恒与惯性系变换的定式思维:一个惯性系下机械能守恒,另一个惯性系下机械能也应该守恒。加上弹簧振子势能是什么又引发一系列争论,什么正弦函数,问题越讲似乎越糊涂。其实类似问题在我那个石头砸到车的问题中已经出现了。为此,我举一个更简单的例子说明这个问题。下图中,一个质量为 m 的小球从一个光滑的碗上部滑下(初始速度为0),摩擦损耗为零;机械能守恒,在顶上势能为[ix]mgh[/ix], 到碗底速度为 [ix]\sqrt{2gh}[/ix],方向水平(为了下面讨论起见, 碗固定在M上,M又固定在地面,但目前不需要考虑)。
现在从一个以速度 V 匀速运动的观察者来看上面的现象:
(1)开始:势能 mgh, 动能 1/2 mV^2, 总能量 E0 = mgh + 1/2mV^2;
(2) 碗底:势能0,动能 1/2m(v+V)^2 = 1/2 mv^2 + 1/2mV^2 + m v*V = mgh + 1/2mV^2 + m v*V = E0 + m v*V
因此从匀速运动的观察者看,小球到碗底时,系统总能量增加了 m v*V (其中的* 表示点乘),也就是说系统的总能量是不守恒的。这个大家没有异议吧?
为什么会这样?在运动观察者看来,碗的支撑力对小球在水平方向做功了。
注意到 mv 是物体动量的变化 [ix] \Delta P[/ix](这是伽利略不变的),我们有
[ix]\Delta E = V \cdot mv = V \cdot \Delta P[/ix]
我在《外力做功的伽利略变换》一文中给出了做功的伽利略变换公式:[ix]W^\prime = W + V \cdot \Delta P[/ix]。在静止参照系,碗对小球做功为0, 也就是说W=0,但碗的作用力导致小球动量变化为 mv,那么在运动参照系,碗对小球做的功是 V * mv 。除非 V与 v 垂直,这个碗对球的做功不为零。
喜欢动脑筋的同学们立刻会说,既然碗对球做功了,那么球的反作用力必然对碗做了相同的负功。这怎么回事?问题恰恰在于此,因为碗被固定,这个系统的动量是不守恒的。
在上图中,如果下面那个座子 M可以自由滑动(假设M与地面无摩擦),那么 m,M 构成的系统动量守衡,M的动量变化等于 m 的动量变化的负值,因此球对 碗+M做功为 -V * mv。考虑 m+碗+M 系统,总能量是守恒的。注意,M可以是整个地球的质量。有兴趣的,可以具体在 静止参照系计算 m 与 M的速度,然后变换到到运动参照系,会发现总机械能是守恒的(注一)。
弹簧振子的问题很容易看出其总机械能在惯性系变换下是不守恒的:考虑物体在平衡点的情况,此时弹簧弹性势能为0,物体 m 速度为 v 或者 -v ,在运动参照系下 系统能量为 1/2 m (v+V)^2 或者 1/2 m (-v +V )^2,两个情况相差 2mv * V。
为什么在伽利略变换下,一个能量守恒的系统,能量不再守恒?
从我们上面的分析看出,这是因为系统没有平移不变性,也就没有动量守恒。
注一: 考虑M可以滑动,m 滑到碗底速度为v, M 速度为 u。在静止参照系,
mv + Mu =0
mgh = 1/2 mv^2+ 1/2 M u^2
解出,
换到速度为V的参照系,伽利略变换
系统总能量
代入上面的u,v, 得出
E= mgh + 1/2(m+M) V^2
由此可见,当M极大,以M作为参照系能量近似守恒 (误差为 m/M 量级),但一旦进行参照系变换,能量就不守恒了,因为M 并非真正的惯性系。
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